사후확률(Posterior Probability)은 베이즈 정리(Bayes’ theorem)에 기반한 개념으로, 특정 사건이 발생한 후에 그 사건에 대한 조건부 확률을 업데이트하는 과정입니다. 이는 새로운 증거나 정보를 고려하여 기존의 확률을 수정하는 방법을 제공합니다.
\(\)베이즈 정리
베이즈 정리는 다음과 같은 수식으로 표현됩니다:
\[
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
\]
여기서,
- \( P(A|B) \)는 B가 발생한 후 A가 발생할 사후확률입니다.
- \( P(B|A) \)는 A가 발생한 조건에서 B가 발생할 확률입니다.
- \( P(A) \)는 A가 발생할 사전확률(Prior Probability)입니다.
- \( P(B) \)는 B가 발생할 전체 확률입니다.
사후확률의 해석
사후확률은 새로운 증거가 주어졌을 때 어떤 사건이 발생할 확률을 나타냅니다. 이는 다음과 같은 단계로 이해할 수 있습니다:
- 사전확률(Prior Probability): 사건 A가 발생할 초기 확률을 설정합니다. 이 확률은 기존의 정보나 경험에 기반합니다.
- 가능도(Likelihood): 사건 A가 발생한 경우 증거 B가 발생할 확률을 계산합니다.
- 주변확률(Marginal Probability): 증거 B가 발생할 전체 확률을 계산합니다. 이는 모든 가능한 사건을 고려하여 B가 발생할 확률입니다.
- 사후확률(Posterior Probability): 새로운 증거 B를 고려하여 사건 A의 확률을 업데이트합니다.
예시
질병 진단에서 사후확률의 사용 예를 들어보겠습니다.
- 사전확률(Prior Probability): 어떤 질병이 전체 인구에서 발생할 확률이 1%라고 가정합니다.
- 가능도(Likelihood): 그 질병에 대해 특정 검사가 양성일 확률이 90%라고 가정합니다.
- 주변확률(Marginal Probability): 그 검사가 전체 인구에서 양성일 확률이 10%라고 가정합니다.
베이즈 정리를 적용하여, 검사가 양성인 경우 그 사람이 실제로 질병에 걸렸을 확률(사후확률)을 계산합니다.
\[
P(\text{질병|양성}) = \frac{P(\text{양성|질병}) \cdot P(\text{질병})}{P(\text{양성})}
\]
즉,
\[
P(\text{질병|양성}) = \frac{0.9 \cdot 0.01}{0.1} = \frac{0.009}{0.1} = 0.09
\]
검사가 양성인 경우 그 사람이 실제로 질병에 걸렸을 확률은 9%입니다.
사후확률의 활용
사후확률은 다양한 분야에서 활용됩니다. 예를 들어:
- 의학: 질병 진단에서 검사의 결과를 토대로 질병의 확률을 갱신합니다.
- 기계 학습: 모델의 예측을 개선하기 위해 새로운 데이터를 고려합니다.
- 경제학: 새로운 경제 데이터를 반영하여 예측을 수정합니다.
Python을 이용한 사후확률 계산 예제
def bayes_theorem(prior_A, likelihood_B_given_A, marginal_B):
# 베이즈 정리를 사용하여 사후확률 계산
posterior_A_given_B = (likelihood_B_given_A * prior_A) / marginal_B
return posterior_A_given_B
# 예제 값
prior_A = 0.01 # 사전확률: 질병 발생 확률
likelihood_B_given_A = 0.9 # 가능도: 질병이 있는 경우 양성 검사 확률
marginal_B = 0.1 # 주변확률: 전체 인구에서 양성 검사 확률
# 사후확률 계산
posterior = bayes_theorem(prior_A, likelihood_B_given_A, marginal_B)
print(f"사후확률: {posterior:.2f}")이 코드는 사전확률, 가능도, 주변확률을 입력받아 사후확률을 계산합니다. 위 예제에서는 사후확률이 0.09, 즉 9%로 계산됩니다.
예제 1 : 벤다이어그램을 이용한 사후확률 계산 예제
위 벤 다이어그램은 질병과 양성 검사 결과에 대한 확률을 시각적으로 나타낸 것입니다.
- 질병(Disease, P(A)): 전체 인구 중 질병이 있는 사람의 비율 (1%).
- 양성 검사(Positive Test, P(B)): 전체 인구 중 양성 검사를 받은 사람의 비율 (10%).
- 질병과 양성 검사(Disease and Positive Test, P(A and B)): 질병이 있고 양성 검사를 받은 사람의 비율 (질병이 있는 경우 양성 검사를 받을 확률 90% * 질병이 있을 확률 1%).
이 다이어그램을 통해 새로운 정보(양성 검사 결과)를 고려하여 사후확률을 계산하는 과정을 이해할 수 있습니다.
예제 2 : 자동차 공장에서의 사후화률
사후확률과 베이즈 정리의 벤다이어그램 설명
자동차 공장에서 불량 제품의 사후확률을 베이즈 정리를 통해 설명하고, 이를 벤다이어그램으로 시각화해보겠습니다.
예시 상황
- 사전확률 (P(불량)): 공장에서 생산된 제품 중 불량일 확률 = 2% (0.02).
- 검사의 민감도 (P(양성 | 불량)): 불량 제품이 있을 때 검사가 양성일 확률 = 95% (0.95).
- 검사의 위양성율 (P(양성 | 정상)): 정상 제품이지만 검사가 양성일 확률 = 10% (0.10).
- 양성률 (P(양성)): 전체 제품에서 검사 결과가 양성일 확률.
베이즈 정리를 통해 검사 결과가 양성일 때 실제로 불량일 확률(P(불량 | 양성))을 계산합니다.
베이즈 정리 적용
\[
P(\text{불량|양성}) = \frac{P(\text{양성|불량}) \cdot P(\text{불량})}{P(\text{양성})}
\]
여기서 P(양성)는 전체 제품에서 검사 결과가 양성일 확률로, 다음과 같이 계산됩니다:
\[
P(\text{양성}) = P(\text{양성|불량}) \cdot P(\text{불량}) + P(\text{양성|정상}) \cdot P(\text{정상})
\]
P(정상)는 1 – P(불량)입니다.
\[
P(\text{양성}) = (0.95 \cdot 0.02) + (0.10 \cdot 0.98) = 0.019 + 0.098 = 0.117
\]
따라서, 사후확률 P(불량|양성)은 다음과 같이 계산됩니다:
\[
P(\text{불량|양성}) = \frac{0.95 \cdot 0.02}{0.117} \approx 0.162
\]
즉, 검사 결과가 양성일 때 실제로 불량일 확률은 약 16.2%입니다.
벤다이어그램을 통한 시각화
- 전체 제품 집합: 전체 제품 중 불량 제품과 정상 제품.
- 양성 검사 집합: 검사 결과가 양성인 제품.
이 두 집합이 겹치는 부분을 통해 사후확률을 시각화할 수 있습니다.
벤다이어그램을 그려보겠습니다.
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib_venn import venn2
# Define the subsets
total_products = 1.0
defective_products = 0.02
non_defective_products = total_products - defective_products
positive_test_defective = 0.95 * defective_products
positive_test_non_defective = 0.10 * non_defective_products
positive_test_total = positive_test_defective + positive_test_non_defective
# Sizes for Venn diagram
sizes = {
'10': positive_test_non_defective, # Positive but not defective
'01': positive_test_defective, # Defective but not positive
'11': positive_test_defective # Both positive and defective
}
# Create Venn diagram
plt.figure(figsize=(10, 7))
venn = venn2(subsets=sizes, set_labels=('Positive Test', 'Defective Product'))
venn.get_label_by_id('10').set_text('False Positive')
venn.get_label_by_id('01').set_text('False Negative')
venn.get_label_by_id('11').set_text('True Positive')
plt.title("Venn Diagram of Positive Test and Defective Products")
plt.show()이 그림은 전체 제품 중에서 양성 검사 결과를 받은 제품과 실제로 불량인 제품의 관계를 시각적으로 나타냅니다. 이를 통해 검사 결과가 양성일 때 실제로 불량일 확률을 시각적으로 이해할 수 있습니다.
예제 3 : 벤다이어그램을 통한 시각화
베이즈 정리를 사용하여 사후 확률을 계산하는 예제를 보여드리겠습니다. 예제는 의료 진단 시나리오를 바탕으로 합니다.
시나리오
어떤 질병에 대해 검사하는 경우를 생각해 봅시다.
- 특정 질병에 걸릴 사전 확률 \(( P(A) )\)은 1% (0.01)입니다.
- 질병이 있는 경우 검사가 양성일 확률 \(( P(B|A) )\)은 99% (0.99)입니다.
- 질병이 없는 경우 검사가 양성일 확률 \(( P(B|~A) )\)은 5% (0.05)입니다.
이제, 검사가 양성일 때 실제로 질병이 있을 확률 (( P(A|B) ))을 계산해보겠습니다.
베이즈 정리 공식
베이즈 정리는 다음과 같이 정의됩니다:
\[
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
\]
여기서 ( P(B) )는 전체 양성 검사 확률로, 다음과 같이 계산됩니다:
\[
P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|~A) \cdot P(~A)
\]
계산 과정
- 사전 확률 \(( P(A) )\): 0.01
- 질병이 있을 때 양성일 확률 \(( P(B|A) )\): 0.99
- 질병이 없을 때 양성일 확률 \(( P(B|~A) )\): 0.05
- 질병이 없을 확률 \(( P(~A) )): 1 – ( P(A) \) = 0.99
\[
P(B) = (0.99 \times 0.01) + (0.05 \times 0.99)
\]
\[
P(B) = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594
\]
이제 베이즈 정리를 적용하여 ( P(A|B) )를 계산합니다:
\[
P(A|B) = \frac{0.99 \times 0.01}{0.0594} = \frac{0.0099}{0.0594} \approx 0.1667
\]
따라서, 검사가 양성일 때 실제로 질병이 있을 확률은 약 16.67%입니다.
Python 코드 예제
위 계산을 Python 코드로 작성해 보겠습니다.
# Given probabilities
P_A = 0.01 # Prior probability of having the disease
P_B_given_A = 0.99 # Probability of testing positive given the disease
P_B_given_not_A = 0.05 # Probability of testing positive given no disease
# Complementary probability
P_not_A = 1 - P_A
# Total probability of testing positive
P_B = P_B_given_A * P_A + P_B_given_not_A * P_not_A
# Posterior probability
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"Total probability of testing positive, P(B): {P_B:.4f}")
print(f"Posterior probability of having the disease given a positive test, P(A|B): {P_A_given_B:.4f}")이 코드를 실행하면 다음과 같은 결과가 나옵니다:
Total probability of testing positive, P(B): 0.0594
Posterior probability of having the disease given a positive test, P(A|B): 0.1667이를 통해, 검사가 양성일 때 실제로 질병이 있을 확률을 구할 수 있습니다.
