반응표면분석(RSA : Response Surface Methodology)는 데이터를 3차원 그래프로 시각화 하고 최적의 조건을 추정하는 분석기법으로, 반응표면분석(Response Surface Analysis, RSA)으로 표현하기도 하며, 동일한 분석 방법이다. 이는 여러 독립 변수들이 종속 변수에 미치는 영향을 이해하고 최적화하기 위한 통계적 기법입니다. 이를 시각화하면 주로 3차원 그래프로 표현됩니다.
축 설정:
- X축: 첫 번째 독립 변수
- Y축: 두 번째 독립 변수
- Z축: 반응 변수 (종속 변수)
- 반응 표면: 일반적으로 2차 함수 형태로, 종속 변수가 독립 변수들의 조합에 따라 변하는 형태를 가집니다.
예제 1
다음은 반응표면분석의 예시입니다. 두 개의 독립 변수 \(x_1\)과 \(x_2\)가 있으며, 종속 변수 \(y\)는 다음과 같은 함수로 정의됩니다:
\[ y = -x_1^2 – x_2^2 + 10 \]
이 함수는 \(x_1\)과 \(x_2\)의 값에 따라 \(y\)가 어떻게 변하는지를 보여줍니다.
3차원 그래프의 특징
- 곡면: 독립 변수들이 변함에 따라 종속 변수의 값을 나타내는 곡면입니다.
- 최고점: 곡면의 최고점(또는 최저점)은 독립 변수들의 최적 값을 나타냅니다.
- 등고선: 그래프의 특정 단면을 보면 등고선이 나타나는데, 이는 특정 (y) 값에 해당하는 (x_1)과 (x_2)의 조합을 보여줍니다.
그림 설명
반응표면분석의 3차원 그래프는 다음과 같이 생겼습니다:
- X축과 Y축은 독립 변수 \(x_1\)과 \(x_2\)를 나타내고, Z축은 반응 변수 \(y\)를 나타냅니다.
- 곡면은 포물선 형태를 가지며, 중앙에 최고점이 위치합니다.
- 각 점은 독립 변수 조합에 따른 반응 변수를 나타냅니다.
이러한 3차원 그래프를 통해 연구자는 독립 변수들이 종속 변수에 미치는 영향을 시각적으로 이해하고 최적화할 수 있습니다.
Python 코드 예제
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# 반응표면 함수 정의
def response_surface(x, y):
return -x**2 - y**2 + 10
# 데이터 생성
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.linspace(-5, 5, 100)
x, y = np.meshgrid(x, y)
z = response_surface(x, y)
# 3D 그래프 그리기
fig = plt.figure(figsize=(10, 7))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z, cmap='viridis', edgecolor='none')
# 축과 제목 설정
ax.set_title('Response Surface Analysis', fontsize=16)
ax.set_xlabel('X-axis', fontsize=12)
ax.set_ylabel('Y-axis', fontsize=12)
ax.set_zlabel('Response', fontsize=12)
# 그래프 표시
plt.show()
코드 설명
- 3D 그래프 그리기: Matplotlib의
plot_surface함수를 사용하여 3차원 그래프를 생성합니다. response_surface(x, y): 반응표면 함수를 정의합니다. 이 예제에서는 \( z= -x^2 – y^2 + 10 \)을 사용했습니다.x와y값을 -5에서 5까지 생성하고,meshgrid를 사용하여 그리드 포인트를 생성합니다.z값을 반응표면 함수를 사용하여 계산합니다.plot_surface를 사용하여 3D 그래프를 그립니다.- 그래프의 축 라벨과 제목을 설정하여 그래프를 완성합니다.
이 코드를 사용하면 반응표면분석의 3차원 그래프를 생성할 수 있습니다. 그래프는 독립 변수 \(x\)와 \(y\)에 따른 종속 변수 \(z\)의 변화를 시각적으로 나타냅니다.
예제2
일반적으로 이차 회귀 모형을 사용하며,
\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \beta_3 x_1^2 + \beta_4 x_2^2 + \beta_5 x_1 x_2 \]
여기서, \(\beta_0\), \(\beta_1\), \(\beta_2\), \(\beta_3\), \(\beta_4\), \(\beta_5\)는 회귀 계수입니다.
Python 코드 예제
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# 모형 계수 설정
beta_0 = 5
beta_1 = 1
beta_2 = 1
beta_3 = -0.5
beta_4 = -0.5
beta_5 = 0.1
# x1과 x2 범위 설정
x1 = np.linspace(-10, 10, 100)
x2 = np.linspace(-10, 10, 100)
x1, x2 = np.meshgrid(x1, x2)
# 반응 변수 y 계산
y = beta_0 + beta_1 * x1 + beta_2 * x2 + beta_3 * x1**2 + beta_4 * x2**2 + beta_5 * x1 * x2
# 반응표면 그림
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x1, x2, y, cmap='viridis')
# 축 레이블 설정
ax.set_xlabel('X1')
ax.set_ylabel('X2')
ax.set_zlabel('Y')
ax.set_title('Response Surface')
plt.show()R 코드 예제 3
# 필요한 패키지 설치 및 로드
install.packages("rgl")
install.packages("scatterplot3d")
library(rgl)
library(scatterplot3d)
# 모델 계수 설정
beta_0 <- 5
beta_1 <- 1
beta_2 <- 1
beta_3 <- -0.5
beta_4 <- -0.5
beta_5 <- 0.1
# x1과 x2 범위 설정
x1 <- seq(-10, 10, length.out = 100)
x2 <- seq(-10, 10, length.out = 100)
grid <- expand.grid(x1 = x1, x2 = x2)
# 반응 변수 y 계산
grid$y <- beta_0 + beta_1 * grid$x1 + beta_2 * grid$x2 + beta_3 * grid$x1^2 + beta_4 * grid$x2^2 + beta_5 * grid$x1 * grid$x2
# 반응표면 그림 그리기
plot3d(grid$x1, grid$x2, grid$y, col = "blue", type = "s", size = 2)
# 축 레이블 설정
title3d(xlab = "X1", ylab = "X2", zlab = "Y", main = "Response Surface Analysis")코드 설명
필요한 패키지 설치 및 로드:
rgl: 3D 그래프를 그리기 위한 패키지.scatterplot3d: 간단한 3D 산점도를 그리기 위한 패키지.
모델 계수 설정:
- 회귀 계수 \(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4, \beta_5\)를 설정합니다.
x1과 x2 범위 설정:
seq(-10, 10, length.out = 100)을 사용하여 (-10)에서 (10)까지의 100개의 값을 생성합니다.expand.grid를 사용하여 x1과 x2의 모든 조합을 포함하는 그리드를 만듭니다.
반응 변수 y 계산:
- 주어진 회귀 모델을 사용하여 각 x1과 x2 조합에 대해 반응 변수 (y)를 계산합니다.
반응표면 그림 그리기:
plot3d함수를 사용하여 3D 반응표면을 그립니다.col파라미터는 점의 색상을 지정하며,type = "s"는 구형 점을 그리도록 지정합니다.title3d함수를 사용하여 3D 플롯의 축 레이블과 제목을 설정합니다.
