분포(Distribution)

통계학에서 다양한 분포가 사용됩니다. 각 분포는 특정 상황이나 데이터 특성에 맞게 적용됩니다. 일반적으로, 이산확률분포와 연속확률분포로 구분할 수 있으며, 주요 분포의 종류와 그 특징을 아래에 설명합니다.
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이산확률분포는 확률변수가 이산적인 값을 가질 때 사용하는 확률분포입니다. 주요 이산확률분포와 그 특징은 다음과 같습니다.

1. 베르누이 분포 (Bernoulli Distribution)

• 특징: 단일 시도에서 성공(1) 또는 실패(0)의 두 가지 결과를 가지는 분포입니다.
• 사용 사례: 동전 던지기에서 앞면(1) 또는 뒷면(0).
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p \]
• 특징:
• 단일 시행의 결과를 모델링.
• 성공과 실패의 확률을 나타냄.

위 그림은 베르누이 분포(Bernoulli Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 막대는 단일 시도에서 성공(1) 또는 실패(0)의 확률을 보여줍니다.

구성 요소:

베르누이 분포 (Bernoulli Distribution):

• 특징: 단일 시도에서 성공(1) 또는 실패(0)의 두 가지 결과를 가지는 분포입니다.
• 사용 사례: 동전 던지기에서 앞면(1) 또는 뒷면(0).
• 확률 질량 함수:
  [ P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p ]
• 여기서 ( p )는 성공 확률입니다.

해석:

• Outcome: ‘Failure (0)’와 ‘Success (1)’는 각각 실패와 성공을 나타냅니다.
• Probability: 각 결과에 대한 확률을 나타냅니다.

이 그림은 베르누이 분포가 단일 시도에서 성공 또는 실패의 확률을 모델링하는 방법을 시각적으로 보여줍니다. 베르누이 분포는 단일 시행의 결과를 분석할 때 유용하게 사용됩니다.

2. 이항 분포 (Binomial Distribution)

• 특징: 성공 또는 실패의 두 가지 결과를 가지는 실험을 ( n )번 반복한 경우의 성공 횟수를 나타냅니다.
• 사용 사례: 동전 던지기, 테스트에서 정답 맞추기.
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
• 특징:
• 독립적인 시행.
• 두 가지 결과만 존재(성공/실패).

위 그림은 이항 분포(Binomial Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 막대는 주어진 횟수의 성공이 나타날 확률을 보여줍니다.

구성 요소:

이항 분포 (Binomial Distribution):

• 특징: 성공 또는 실패의 두 가지 결과를 가지는 실험을 ( n )번 반복한 경우의 성공 횟수를 나타냅니다.
• 사용 사례: 동전 던지기, 테스트에서 정답 맞추기.
• 확률 질량 함수:
  [ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} ]
• 여기서 ( n )은 실험 횟수, ( p )는 성공 확률, ( k )는 성공 횟수입니다.

해석:

• Number of successes: 주어진 실험 횟수에서 성공한 횟수입니다.
• Probability: 각 성공 횟수에 대한 확률을 나타냅니다.

이 그림은 이항 분포가 성공 횟수를 모델링하는 방법을 시각적으로 보여줍니다. 이항 분포는 반복적인 성공/실패 상황에서 성공 횟수를 분석할 때 유용하게 사용됩니다.

3. 포아송 분포 (Poisson Distribution)

• 특징: 일정한 시간이나 공간 내에서 사건이 발생하는 횟수를 모델링합니다.
• 사용 사례: 전화 교환기에 들어오는 전화, 특정 웹사이트에 접속하는 사람 수.
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
• 특징:
• 단위 시간/공간에서 사건 발생 횟수를 설명.
• 사건이 독립적으로 발생.
• 평균과 분산이 같

위 그림은 포아송 분포(Poisson Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 막대는 단위 시간이나 공간 내에서 사건이 발생하는 횟수에 대한 확률을 보여줍니다.

구성 요소:

포아송 분포 (Poisson Distribution):

• 특징: 일정한 시간이나 공간 내에서 사건이 발생하는 횟수를 모델링합니다.
• 사용 사례: 전화 교환기에 들어오는 전화, 특정 웹사이트에 접속하는 사람 수.
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]
• 여기서 \( \lambda \)는 사건 발생의 평균 빈도(rate parameter), \( k \)는 사건의 발생 횟수입니다.

해석:

• Number of events: 단위 시간이나 공간 내에서 발생하는 사건의 횟수입니다.
• Probability: 각 사건 횟수에 대한 확률을 나타냅니다.

이 그림은 포아송 분포가 사건 발생 횟수를 모델링하는 방법을 시각적으로 보여줍니다. 포아송 분포는 사건이 독립적으로 발생하는 상황에서 사건의 발생 횟수를 분석할 때 유용하게 사용됩니다.

4. 기하 분포 (Geometric Distribution)

• 특징: 첫 번째 성공까지 실패한 횟수를 나타냅니다.
• 사용 사례: 첫 번째 성공을 기다리는 과정(예: 첫 번째 성공적인 판매).
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=k) = (1-p)^k p \]
• 특징:
• 독립적인 시행.
• 성공할 때까지의 실패 횟수를 모델링.

위 그림은 기하 분포(Geometric Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 막대는 첫 번째 성공 이전의 실패 횟수가 나타날 확률을 보여줍니다.

구성 요소:

1. 기하 분포 (Geometric Distribution):

• 특징: 첫 번째 성공까지 실패한 횟수를 나타냅니다.
• 사용 사례: 첫 번째 성공을 기다리는 과정(예: 첫 번째 성공적인 판매).
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=k) = (1-p)^k p \]
• 여기서 ( p )는 성공 확률, ( k )는 첫 번째 성공 이전의 실패 횟수입니다.

해석:

• Number of failures before first success: 첫 번째 성공이 나타나기 전에 발생하는 실패 횟수입니다.
• Probability: 각 실패 횟수에 대한 확률을 나타냅니다.

이 그림은 기하 분포가 첫 번째 성공 이전의 실패 횟수를 모델링하는 방법을 시각적으로 보여줍니다. 기하 분포는 반복적인 성공/실패 상황에서 첫 번째 성공까지의 실패 횟수를 분석할 때 유용하게 사용됩니다.

5. 음이항 분포 (Negative Binomial Distribution)

• 특징: r번째 성공까지 실패한 횟수를 나타냅니다.
• 사용 사례: 일정 횟수의 성공을 얻기 위해 필요한 시도 횟수.
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=k) = \binom{k+r-1}{r-1} p^r (1-p)^k \]
• 특징:
• 독립적인 시행.
• 성공 횟수가 고정된 경우 실패 횟수를 모델링.

위 그림은 음이항 분포(Negative Binomial Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 막대는 성공 횟수 전에 실패 횟수가 나타날 확률을 보여줍니다.

구성 요소:

음이항 분포 (Negative Binomial Distribution):

• 특징: 일정 횟수의 성공을 얻기 위해 필요한 실패 횟수를 모델링합니다.
• 사용 사례: 일정 수의 성공을 얻기 위해 필요한 시도 횟수(예: 판매원에게 5번의 판매를 달성하기까지 필요한 시도 횟수).
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=k) = \binom{k+r-1}{r-1} p^r (1-p)^k \]
• 여기서 ( r )은 성공 횟수, ( p )는 성공 확률, ( k )는 성공 횟수 이전의 실패 횟수입니다.

해석:

• Number of failures before 5 successes: 5번의 성공이 나타나기 전에 발생하는 실패 횟수입니다.
• Probability: 각 실패 횟수에 대한 확률을 나타냅니다.

이 그림은 음이항 분포가 일정 수의 성공을 얻기 위해 필요한 실패 횟수를 모델링하는 방법을 시각적으로 보여줍니다. 음이항 분포는 반복적인 성공/실패 상황에서 실패 횟수를 분석할 때 유용하게 사용됩니다.

6. 초기하 분포 (Hypergeometric Distribution)

• 특징: 비복원 추출에서 성공한 횟수를 모델링합니다.
• 사용 사례: 복원하지 않고 무작위로 추출하는 경우(예: 카드 뽑기).
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]
• 특징:
• 모집단에서 비복원 추출.
• 성공과 실패의 횟수를 모델링.

위 그림은 초기하 분포(Hypergeometric Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 막대는 샘플에서 성공 상태가 나타날 확률을 보여줍니다.

구성 요소:

초기하 분포 (Hypergeometric Distribution):

• 특징: 비복원 추출에서 성공 상태의 빈도를 모델링합니다.
• 사용 사례: 카드 뽑기, 로또 번호 추첨, 한정된 자원에서의 선택 등.
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \]
• 여기서 ( N )은 모집단 크기, ( K )는 모집단 내의 성공 상태 수, ( n )은 추출 크기, ( k )는 성공 상태의 수입니다.

해석:

• Number of successes in sample: 샘플에서 성공 상태가 나타나는 횟수입니다.
• Probability: 각 횟수에 대한 확률을 나타냅니다.

이 그림은 초기하 분포가 비복원 추출에서 성공 상태의 빈도를 모델링하는 방법을 시각적으로 보여줍니다. 초기하 분포는 샘플링 상황에서 성공 상태의 빈도를 분석할 때 유용하게 사용됩니다.

7. 다항 분포 (Multinomial Distribution)

• 특징: 여러 범주의 사건이 발생하는 횟수를 모델링합니다.
• 사용 사례: 주사위 던지기에서 각 면이 나오는 횟수.
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_k=x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k} \]
• 특징:
• 여러 범주의 결과를 가지는 실험.
• 각 범주에서 발생하는 횟수를 모델링.

위 그림은 다항 분포(Multinomial Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 막대는 서로 다른 범주의 발생 빈도를 보여줍니다.

구성 요소:

다항 분포 (Multinomial Distribution):

• 특징: 여러 범주(category)에 대한 사건의 발생 횟수를 모델링합니다.
• 사용 사례: 주사위 던지기에서 각 면이 나오는 횟수, 선거에서 각 후보가 얻는 표 수 등.
• 확률 질량 함수:
  \[ P(X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_k=x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \cdots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_k^{x_k} \]
• 여기서 \( n \)은 시행 횟수, \( p_i \)는 각 범주의 확률, \( x_i \)는 각 범주의 발생 횟수입니다.

해석:

• 범주: ‘Category 1’, ‘Category 2’, ‘Category 3’는 각각의 범주를 나타냅니다.
• 빈도: 각 범주에서 발생한 사건의 빈도를 막대로 표현하였습니다.
• 예시: 이 예시에서는 1000번의 시도에서 세 가지 범주가 각각 200번, 300번, 500번 발생했습니다.

다항 분포는 여러 범주에 대한 데이터의 빈도 분석에서 유용하게 사용됩니다.

위와같이, 이산확률분포들은 다양한 데이터 특성과 문제 상황에 맞게 사용되며, 각각의 분포는 특정한 패턴을 가진 데이터를 모델링하는 데 적합합니다.

연속 확률 분포

연속확률분포는 확률변수가 연속적인 값을 가질 때 사용하는 확률분포입니다. 다양한 연속확률분포가 있으며, 각 분포는 특정한 상황이나 데이터 특성에 맞게 적용됩니다. 주요 연속확률분포와 그 특징은 다음과 같습니다.

1. 정규 분포 (Normal Distribution)

• 특징: 종 모양의 대칭 분포로, 평균과 표준 편차로 정의됩니다.
• 사용 사례: 키, 체중, 시험 점수 등 자연현상과 관련된 데이터.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \]
• 특징:
• 중앙값, 평균, 최빈값이 모두 동일.
• 분포는 평균을 중심으로 대칭.

2. 균등 분포 (Uniform Distribution)

• 특징: 모든 값이 동일한 확률을 가지는 분포입니다.
• 사용 사례: 난수 생성, 주사위 던지기.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x) = \frac{1}{b-a} \quad \text{for } a \leq x \leq b \]
• 특징:
• 각 값이 나올 확률이 동일.
• 분포가 일정한 높이로 나타남.

3. 지수 분포 (Exponential Distribution)

• 특징: 사건 간의 시간 간격을 모델링합니다.
• 사용 사례: 기계의 수명, 콜센터에서 전화가 걸려오는 간격.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \quad \text{for } x \geq 0 \]
• 특징:
• 사건 간의 시간 간격을 설명.
• 무기억성의 특징(이전 사건이 다음 사건에 영향을 주지 않음).

위 그림은 다양한 척도 모수(scale parameter, λ)를 가진 지수 분포(Exponential Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 곡선은 서로 다른 척도 모수를 가진 지수 분포를 보여줍니다.

구성 요소:

lambda=1:

• 척도 모수가 1인 지수 분포는 기본적인 형태의 지수 분포입니다.
• 분포가 빠르게 감소합니다.

lambda=0.5:

• 척도 모수가 0.5인 지수 분포는 더 천천히 감소합니다.
• 분포의 꼬리가 더 길어집니다.

lambda=2:

• 척도 모수가 2인 지수 분포는 더 빠르게 감소합니다.
• 분포의 꼬리가 더 짧아집니다.

해석:

• 척도 모수(lambda)의 영향: 척도 모수가 클수록 분포는 더 빠르게 감소하며, 모수가 작을수록 분포는 더 천천히 감소합니다.
• 응용: 지수 분포는 사건 간의 시간 간격을 모델링하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 기계의 수명, 콜센터에서 전화가 걸려오는 간격, 웹 서버로의 요청 간의 시간 간격 등을 설명하는 데 사용됩니다.

지수 분포는 사건의 발생 시간을 모델링하는 데 매우 유용하며, 무기억성 특성(이전 사건의 발생이 다음 사건의 발생에 영향을 미치지 않음)을 가지기 때문에 다양한 실생활 응용에서 많이 사용됩니다.

4. 감마 분포 (Gamma Distribution)

• 특징: 연속 확률 분포로, 지수 분포의 일반화된 형태입니다.
• 사용 사례: 보험 청구 금액, 강수량 모델링.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x; \alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)} \]
• 특징:
• 양의 실수 값을 가지는 사건의 발생을 모델링.
• 형상 모수(α)와 척도 모수(β)에 따라 다양한 형태를 가질 수 있음.

위 그림은 다양한 형상 모수(shape parameter, α)를 가진 감마 분포(Gamma Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 곡선은 서로 다른 형상 모수를 가진 감마 분포를 보여줍니다.

구성 요소:

alpha=1:

• 형상 모수가 1인 감마 분포는 지수 분포(Exponential Distribution)와 동일합니다.
• 분포가 오른쪽으로 길게 꼬리를 가집니다.

alpha=2:

• 형상 모수가 2인 감마 분포는 오른쪽으로 덜 치우쳐 있으며, 중심 부분이 더 뚜렷합니다.

alpha=5:

• 형상 모수가 5인 감마 분포는 더욱 대칭적이며, 중심 부분이 더 두드러집니다.

해석:

• 형상 모수(alpha)의 영향: 형상 모수가 증가할수록 분포의 중심이 오른쪽으로 이동하고, 분포의 형태가 정규 분포와 비슷해집니다.
• 응용: 감마 분포는 보험 청구 금액, 강수량 모델링, 대기 시간 등 다양한 분야에서 사용됩니다.

감마 분포는 형상 모수에 따라 다양한 형태를 가질 수 있어, 다양한 상황에서 데이터 모델링에 유용하게 사용됩니다.

5. 카이제곱 분포 (Chi-Square Distribution)

• 특징: 정규 분포를 따르는 독립 변수들의 제곱합 분포입니다.
• 사용 사례: 카이제곱 검정에서 사용.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x; k) = \frac{x^{(k/2)-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \]
• 특징:
• 비대칭 분포로, 자유도에 따라 형태가 변함.
• 독립적인 표준 정규 분포 변량의 제곱합으로 정의.

위 그림은 다양한 자유도(degrees of freedom, df)를 가진 카이제곱 분포(Chi-Square Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 곡선은 서로 다른 자유도를 가진 카이제곱 분포를 보여줍니다.

구성 요소:

df=1:

• 자유도가 1인 카이제곱 분포는 매우 비대칭적이며, 주로 낮은 값에 치우쳐 있습니다.

df=2:

• 자유도가 2인 카이제곱 분포는 여전히 비대칭적이지만, 자유도가 1인 분포보다는 덜 치우쳐 있습니다.

df=5:

• 자유도가 5인 카이제곱 분포는 더욱 대칭에 가까워지며, 중심으로 이동합니다.

df=10:

• 자유도가 10인 카이제곱 분포는 대칭에 더 가까워지며, 정규 분포에 근접하게 됩니다.

해석:

• 자유도 증가: 자유도가 증가할수록 카이제곱 분포는 점점 더 정규 분포에 가까워집니다.
• 비대칭성: 낮은 자유도의 카이제곱 분포는 비대칭적이며, 오른쪽으로 긴 꼬리를 가집니다.
• 응용: 카이제곱 검정, 신뢰 구간 계산 등 다양한 통계 분석에서 사용됩니다.

카이제곱 분포는 주로 분산 분석, 적합도 검정, 독립성 검정 등에서 사용되며, 자유도가 변화함에 따라 분포의 형태가 달라집니다.

6. t-분포 (Student’s t-Distribution)

• 특징: 표본 크기가 작은 경우에 사용되며, 정규 분포와 비슷하지만 꼬리가 두껍습니다.
• 사용 사례: t-검정에서 사용.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x; \nu) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi} \Gamma(\nu/2)} \left(1 + \frac{x^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2} \]
• 특징:
• 표본 크기가 작을 때 정규 분포를 대체.
• 자유도에 따라 형태가 변하며, 자유도가 커질수록 정규 분포에 가까워짐.

7. 베타 분포 (Beta Distribution)

• 특징: 0과 1 사이의 값을 가지며, 주로 확률, 비율 모델링에 사용됩니다.
• 사용 사례: A/B 테스트, 베이지안 통계.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)} \]
• 특징:
• 매개변수 α와 β에 따라 다양한 형태를 가질 수 있음.
• 0과 1 사이의 값을 가지는 데이터 모델링에 적합.

위 그림은 다양한 형상 모수(alpha와 beta)를 가진 베타 분포(Beta Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 곡선은 서로 다른 형상 모수를 가진 베타 분포를 보여줍니다.

구성 요소:

alpha=0.5, beta=0.5

• 분포가 U자형으로, 양 끝점에 값이 집중됩니다.
• 값들이 0과 1에 많이 몰려 있는 경우를 나타냅니다.

alpha=2, beta=2

• 분포가 대칭적이며, 중간 값에 집중됩니다.
• 값들이 중간에 많이 몰려 있는 경우를 나타냅니다.

alpha=2, beta=5

• 분포가 오른쪽으로 치우쳐 있으며, 값들이 0에 많이 몰립니다.
• 값들이 작은 쪽에 많이 몰려 있는 경우를 나타냅니다.

alpha=5, beta=2

• 분포가 왼쪽으로 치우쳐 있으며, 값들이 1에 많이 몰립니다.
• 값들이 큰 쪽에 많이 몰려 있는 경우를 나타냅니다.

해석:

• 형상 모수(alpha와 beta)의 영향: alpha와 beta의 값에 따라 분포의 형태가 달라집니다. 두 모수가 같으면 대칭적인 분포가 되며, 다르면 한쪽으로 치우친 분포가 됩니다.
• 응용: 베타 분포는 확률, 비율, 베이지안 통계 등에서 많이 사용됩니다. 특히, A/B 테스트와 같은 실험에서 성공 확률을 모델링하는 데 유용합니다.

베타 분포는 다양한 형태를 가질 수 있어, 확률과 비율 데이터의 모델링에 매우 유용합니다. 각기 다른 상황에서 데이터의 특성을 잘 반영할 수 있습니다.

8. 로지스틱 분포 (Logistic Distribution)

• 특징: 정규 분포와 비슷하지만 꼬리가 더 두껍고, 로지스틱 회귀 분석에서 사용됩니다.
• 사용 사례: 로지스틱 회귀 분석.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}}{s(1+e^{-(x-\mu)/s})^2} \]
• 특징:
• 중앙값과 평균이 동일.
• 정규 분포보다 꼬리가 두꺼워 이상치에 덜 민감.

• 위 그림은 로지스틱 분포(Logistic Distribution)를 나타낸 것입니다. 로지스틱 분포는 정규 분포와 비슷하지만 꼬리가 더 두껍고, 로지스틱 회귀 분석에서 자주 사용됩니다.

구성 요소:

1. 로지스틱 분포 (Logistic Distribution):

• 특징: 정규 분포와 비슷하지만 꼬리가 더 두꺼워 이상치에 덜 민감합니다.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x) = \frac{e^{-(x-\mu)/s}}{s(1+e^{-(x-\mu)/s})^2} \]
• 사용 사례: 로지스틱 회귀 분석에서 사용됩니다.
• 특징:
  • 중앙값과 평균이 동일합니다.
  • 분포의 중심 부분이 정규 분포와 비슷하지만 꼬리가 두꺼워 이상치에 덜 민감합니다.

로지스틱 분포는 데이터 분석과 통계 모델링에서 중요한 역할을 하며, 특히 로지스틱 회귀 모델을 사용할 때 유용합니다.

9. 와이블 분포 (Weibull Distribution)

• 특징: 제품 수명 분석과 신뢰성 공학에서 많이 사용됩니다.
• 사용 사례: 제품 수명 데이터.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x; k, \lambda) = \frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} \]
• 특징:
• 모수 k와 λ에 따라 다양한 형태를 가질 수 있음.
• 제품 수명과 같은 데이터 모델링에 적합.

위 그림은 다양한 형상 모수(shape parameter)를 가진 와이블 분포(Weibull Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 곡선은 서로 다른 형상 모수를 가진 와이블 분포를 보여줍니다.

구성 요소:

k=1 (Exponential Distribution)

• 형상 모수가 1인 와이블 분포는 지수 분포(Exponential Distribution)와 동일합니다.
• 분포가 오른쪽으로 길게 꼬리를 가집니다.

k=1.5

• 형상 모수가 1.5인 와이블 분포는 지수 분포와 정규 분포 사이의 형태를 가집니다.
• 꼬리가 약간 덜 길어지며, 중심 부분이 더 뚜렷해집니다.

k=2 (Rayleigh Distribution)

• 형상 모수가 2인 와이블 분포는 레일리 분포(Rayleigh Distribution)와 동일합니다.
• 중심 부분이 더 두드러지고, 정규 분포와 비슷한 형태를 가집니다.

해석:

• 형상 모수(k)의 영향: 형상 모수가 증가할수록 분포의 형태가 정규 분포와 비슷해지며, 꼬리가 짧아집니다.
• 응용: 와이블 분포는 제품 수명 분석, 신뢰성 공학, 기계 고장 시간 모델링 등에서 많이 사용됩니다.

와이블 분포는 형상 모수에 따라 다양한 형태를 가질 수 있어, 다양한 상황에서 데이터 모델링에 유용하게 사용됩니다.

10. 파레토 분포 (Pareto Distribution)

• 특징: 소득 분포와 같은 부의 분포 모델링에 사용됩니다.
• 사용 사례: 소득 분포, 부의 분포.
• 확률 밀도 함수:
  \[ f(x; \alpha, x_m) = \frac{\alpha x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}} \quad \text{for } x \geq x_m \]
• 특징:
• α와 x_m에 따라 형태가 변함.
• 상위 몇 퍼센트가 전체의 대부분을 차지하는 분포에 적합.

위 그림은 다양한 형상 모수(shape parameter)를 가진 파레토 분포(Pareto Distribution)를 나타낸 것입니다. 각 곡선은 서로 다른 형상 모수를 가진 파레토 분포를 보여줍니다.

구성 요소:

alpha=1

• 형상 모수가 1인 파레토 분포는 매우 긴 꼬리를 가집니다.
• 소득 분포나 부의 분포와 같은 데이터를 모델링하는 데 사용됩니다.

alpha=2

• 형상 모수가 2인 파레토 분포는 꼬리가 덜 길어지며, 중심 부분이 조금 더 뚜렷해집니다.
• 여전히 상위 몇 퍼센트가 대부분의 값을 차지하는 분포를 나타냅니다.

alpha=3

• 형상 모수가 3인 파레토 분포는 더욱 짧은 꼬리를 가지며, 분포의 중심 부분이 더 두드러집니다.
• 높은 형상 모수는 값들이 더욱 집중되는 형태를 보입니다.

해석:

• 형상 모수(alpha)의 영향: 형상 모수가 증가할수록 분포의 꼬리가 짧아지며, 값들이 더 집중됩니다.
• 응용: 파레토 분포는 소득 분포, 부의 분포, 도시 인구 분포 등에서 많이 사용됩니다. 상위 몇 퍼센트가 전체의 대부분을 차지하는 경우에 적합합니다.

파레토 분포는 사회적 현상이나 경제적 데이터에서 불평등을 나타내는 데 유용하게 사용됩니다.

위와같이, 연속확률분포들은 다양한 데이터 특성과 문제 상황에 맞게 사용되며, 각각의 분포는 특정한 패턴을 가진 데이터를 모델링하는 데 적합합니다.