📌 SPSS 곡선추정(Curve Estimation)에서 사용되는 모형 설명
\(\)SPSS에서 곡선추정(Curve Estimation) 기능은 독립변수(X)와 종속변수(Y) 간의 비선형 관계를 분석하는 데 사용됩니다.
즉, 데이터를 단순한 직선 관계(선형 회귀)뿐만 아니라 다양한 곡선 형태로 적합할 수 있도록 도와줍니다.
✅ SPSS에서 지원하는 곡선추정 모형
| 모형 | 수식(일반 형태) | 설명 |
|---|---|---|
| 선형 (Linear) | $$Y=a+bXY = a + bX$$ | 가장 기본적인 1차 함수 (직선) |
| 로그 (Logarithmic) | $$Y=a+bln(X)Y = a + b \ln(X)$$ | 독립변수가 증가할수록 완만해지는 관계 (ex. 수익 체감) |
| 제곱근 (Inverse) | $$Y=a+bXY = a + \frac{b}{X}$$ | X가 증가할수록 Y가 점점 감소하는 형태 |
| 2차 다항식 (Quadratic) | $$Y=a+bX+cX2Y $$ $$= a + bX + cX^2$$ | 포물선 형태 (U자형 또는 ∩자형) |
| 3차 다항식 (Cubic) | $$Y=a+bX+cX2+dX3Y $$ $$= a + bX + cX^2 + dX^3$$ | 곡선의 방향이 두 번 바뀌는 형태 |
| S자형 (S-curve, Logistic) | $$Y=a1+be−cXY = \frac{a}{1 + b e^{-cX}}$$ | S자 형태 (성장 모델) |
| 지수 (Exponential) | $$Y=aebXY = a e^{bX}$$ | 기하급수적 증가 모델 |
| 멱함수 (Power) | $$Y=aXbY = a X^b$$ | 곡선 형태지만 선형적으로 변환 가능 |
| 진동형 (Growth, Damped) | 특정 모델 적용 | 주기적 진동이 포함된 패턴을 분석할 때 사용 |
📌 1. 곡선추정 수행 방법 (SPSS)
1️⃣ SPSS 메뉴에서
분석(Analyze)→회귀(Regression)→곡선추정(Curve Estimation)
2️⃣ 변수 선택
- 독립변수(X): 예측 변수 (예: 시간, 온도 등)
- 종속변수(Y): 결과 변수 (예: 매출, 성장률 등)
3️⃣ 모형 선택
- 여러 곡선 모델을 선택한 후 적합도를 비교
4️⃣ 결과 해석
- 결정계수(R², 설명력) 값이 가장 높은 모델이 최적의 모형
📌 2. 곡선 모형별 적용 예시
| 모형 | 적용 예제 |
|---|---|
| 선형(Linear) | 키(X)와 체중(Y) 간의 관계 |
| 로그(Logarithmic) | 학습 시간(X)과 점수(Y) (점수가 점차 증가하지만 일정 수준에서 완만해짐) |
| 제곱근(Inverse) | 약 투여량(X)과 혈압 감소(Y) (약이 많아질수록 효과가 감소) |
| 2차 다항식(Quadratic) | 광고비(X)와 매출(Y) (광고가 너무 많으면 역효과 발생) |
| S자형(Logistic) | 신제품 판매량(X)과 시간(Y) (초반 성장 후 안정화) |
📌 3. SPSS 곡선추정 결과 해석
SPSS 곡선추정 결과에서는 다음을 확인할 수 있습니다.
✅ 1) 결정계수 (R2R^2)
- R2R^2 값이 1에 가까울수록 모델이 데이터를 잘 설명
- 여러 모델 중 R2R^2 값이 가장 높은 것을 선택
✅ 2) 회귀계수 (a, b, c…)
- 회귀 방정식에서 계수의 의미 해석
✅ 3) ANOVA 분석 (유의성 검정)
- F값과 p-value 확인하여 모델의 유의성 검정
✅ 4) 그래프
적합도 그래프(Fit Plot)를 보고 실제 데이터와 얼마나 잘 맞는지 시각적으로 확인
🎯 결론
SPSS 곡선추정은 단순 선형 관계를 넘어서 비선형적 관계를 분석하는 데 유용합니다.
최적의 모형을 선택할 때 R² 값이 높은 모델을 찾고, 그래프를 확인하여 해석하는 것이 중요합니다. 🚀😊
SPSS 곡선추정(Curve Estimation) – 로지스틱(Logistic) 및 거듭제곱(Power) 회귀 분석
SPSS에서 곡선추정(Curve Estimation) 기능을 사용하면 다양한 비선형 회귀 모델을 적용할 수 있습니다.
이 중 로지스틱(Logistic) 회귀와 거듭제곱(Power) 회귀는 데이터의 패턴을 설명하는 데 유용한 모델입니다.
1. 로지스틱(Logistic) 회귀 분석
✔ 로지스틱 모델의 형태
로지스틱 회귀는 S자(S-curve) 형태의 성장 또는 제한된 증가 패턴을 모델링하는 데 사용됩니다. $$Y=c1+ae−bXY = \frac{c}{1 + a e^{-bX}}$$
- YY : 종속변수(예측값)
- XX : 독립변수(설명변수)
- a,b,ca, b, c : 회귀 계수
- cc = 최종 수렴값 (Y의 상한선)
- bb = 성장률 (X가 증가할 때 Y가 증가하는 속도)
- aa = 초깃값 조절 (X=0일 때의 초기 조건)
✔ 로지스틱 모델의 특징
- 데이터가 특정 값(상한선, 하한선)에 수렴하는 경우 유용함.
- 인구 성장, 질병 전파, 제품 채택률(기술 확산) 등을 분석하는 데 사용됨.
- 초기에는 완만한 증가 → 특정 지점 이후 급격한 증가 → 다시 완만한 증가로 안정됨.
✔ SPSS에서 로지스틱 회귀 수행 방법
- 분석(Analyze) → 회귀(Regression) → 곡선추정(Curve Estimation)
- 종속변수(Y)와 독립변수(X) 선택
- 모형 유형(Model Type)에서 “Logistic” 선택
- “확인(OK)” 클릭하여 결과 확인
2. 거듭제곱(Power) 회귀 분석
✔ 거듭제곱 모델의 형태
거듭제곱 회귀는 비례적 또는 멱법칙(Power Law) 관계를 나타낼 때 사용됩니다.
$$ Y=aXbY = aX^b$$
- YY : 종속변수(예측값)
- XX : 독립변수(설명변수)
- a,ba, b : 회귀 계수
- aa : 스케일 계수(초기값 조정)
- bb : 거듭제곱 지수(기울기)
✔ 거듭제곱 모델의 특징
- 두 변수 간 비례적 관계를 설명하는 데 유용함.
- 기하급수적 성장, 경제 데이터(수익과 광고비 관계), 물리학적 현상(면적과 부피 관계) 등에서 사용됨.
- 로그-로그 변환을 사용하여 선형 회귀 형태로 변환할 수도 있음.
✔ SPSS에서 거듭제곱 회귀 수행 방법
- 분석(Analyze) → 회귀(Regression) → 곡선추정(Curve Estimation)
- 종속변수(Y)와 독립변수(X) 선택
- 모형 유형(Model Type)에서 “Power” 선택
- “확인(OK)” 클릭하여 결과 확인
3. 로지스틱 vs 거듭제곱 모델 비교
| 모델 유형 | 수식 | 특징 | 활용 사례 |
|---|---|---|---|
| 로지스틱(Logistic) | $$Y=c1+ae−bXY = \frac{c}{1 + a e^{-bX}}$$ | S자 곡선 형태, 상한선 존재 | 인구 성장, 감염병 확산, 기술 채택률 |
| 거듭제곱(Power) | $$Y=aXbY = aX^b$$ | 기하급수적 증가, 비례적 관계 | 경제 데이터, 물리학적 관계(크기 vs 무게) |
✅ 결론
- 로지스틱(Logistic) 회귀는 **S자 곡선(S-curve)**을 따르는 제한된 성장을 모델링하는 데 적합함.
- 거듭제곱(Power) 회귀는 **기하급수적 증가(비례 관계)**를 모델링하는 데 유용함.
- SPSS에서 “곡선추정(Curve Estimation)” 기능을 활용하여 쉽게 분석할 수 있음.
🚀 어떤 데이터인지에 따라 적절한 모델을 선택하는 것이 중요합니다! 📊