큰 수의 법칙(Law of Large Numbers)은 통계학과 확률론에서 매우 중요한 개념으로, 동일한 실험을 반복적으로 수행할 때, 그 평균값이 진정한 기댓값에 가까워진다는 원리이다. 즉, 통계적 확률이 수학적 확률로 수렴한다는 것을 의미하며, 이 법칙은 확률론에서 중요한 두 가지 형태, 즉 약한 큰 수의 법칙과 강한 큰 수의 법칙으로 나눌 수 있습니다.
\(\)약한 큰 수의 법칙 (Weak Law of Large Numbers)
약한 큰 수의 법칙은 표본의 크기가 증가함에 따라 표본 평균이 확률적으로 모집단의 기댓값에 수렴한다는 것을 말합니다. 이는 표본 평균이 기댓값에서 크게 벗어날 확률이 0으로 수렴함을 의미합니다.
수식
\[ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i – \mu \right| \geq \epsilon \right) = 0 \]
여기서 \(X_i\)는 독립이고 동일한 분포를 따르는 확률 변수이며, \(\mu\)는 기댓값입니다.
강한 큰 수의 법칙 (Strong Law of Large Numbers)
강한 큰 수의 법칙은 표본의 크기가 무한히 커질 때, 표본 평균이 거의 확실하게 모집단의 기댓값에 수렴한다는 것을 의미합니다. 이는 표본 평균이 기댓값에 거의 확실하게 수렴함을 나타냅니다.
수식
\[ P\left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i = \mu \right) = 1 \]
여기서 \(X_i\)는 독립이고 동일한 분포를 따르는 확률 변수이며, \(\mu\)는 기댓값입니다.
큰 수의 법칙의 시각적 설명
큰 수의 법칙을 설명하는 데는 동전 던지기 실험을 예로 들 수 있습니다. 동전 던지기를 여러 번 반복하면, 앞면이 나오는 비율이 점차 0.5에 가까워지는 현상을 관찰할 수 있습니다.
예제: 동전 던지기
- 사전 정보: 동전의 앞면이 나올 확률은 0.5입니다.
- 실험: 동전을 여러 번 던집니다.
- 결과: 던진 횟수가 많아질수록, 앞면이 나오는 비율이 0.5에 가까워집니다.
큰 수의 법칙의 중요성
- 통계적 추정: 표본 평균이 모집단의 기댓값을 추정하는 데 사용될 수 있다는 점에서 중요한 원리입니다.
- 실제 데이터 분석: 많은 데이터를 사용할 때, 통계적 추정의 정확성과 신뢰성을 보장합니다.
시각적 예제 코드
다음은 Python을 사용하여 큰 수의 법칙을 시각화하는 간단한 예제입니다.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 동전 던지기 함수
def coin_toss(n):
return np.random.binomial(1, 0.5, n)
# 던진 횟수
num_trials = 10000
results = coin_toss(num_trials)
# 누적 평균 계산
cumulative_average = np.cumsum(results) / (np.arange(num_trials) + 1)
# 그래프 그리기
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(cumulative_average, label='Cumulative Average')
plt.axhline(y=0.5, color='r', linestyle='--', label='True Probability (0.5)')
plt.xlabel('Number of Trials')
plt.ylabel('Cumulative Average')
plt.title('Law of Large Numbers')
plt.legend()
plt.show()이 코드는 동전을 10,000번 던졌을 때 앞면이 나오는 누적 평균을 계산하고, 그 결과를 시각화하여 큰 수의 법칙을 보여줍니다. 던진 횟수가 많아질수록 누적 평균이 0.5에 가까워지는 것을 확인할 수 있습니다.
